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將公理，無可奈何地，建立於直觀證明上，其他一切則建立在推論上。在＇過去的＇一切世紀中，他的方法一直是有權威的；並且一天不把先驗的純粹直觀從經驗的直觀區別開來，這種情況也必然會延續下去。雖有歐幾里德的註釋家普洛克羅斯似乎已經看到這種區別，譬如克卜勒在他那部《世界的諧律》中譯成拉丁文的一段，就是這位註釋家的原作在這方面的表現；不過普洛克羅斯不夠重視這件事，他是把它孤立地提出來的，他未被人注意，自己也沒有貫徹到底。所以直到兩千年以後，康德的學說既命定要在歐洲各民族的知識、思想、行為上產生這樣重大的變化，才會在數學領域裡促成同樣的變化。因為只有我們從這位偉大哲人那裡懂得空間和時間的直觀完全不同於經驗的直觀，完全無待於一切感官上的印象，決定感官而不為感官所決定，即是說空間和時間的直觀是先驗的，從而也是根本不容感官的迷誤入侵的；只有學得了這些，然後我們才能理解歐幾里德在數學上使用的邏輯方法只是多餘的謹慎，有如健全的腿上再加柺杖似的；有如行人在夜間把白色的幹路當作水，唯恐踏入水中，寧可在路邊高一步，低一步，走過一段又一段，還自以為得計沒有碰到這原不存在的水。直到現在，我們才能有確實把握說：在我們直接觀察一個幾何圖形時，那必然是顯現於我們之前的，既不來自劃在紙上不很精確的圖形，也不來自我們邊看邊設想的抽象概念。而是來自我們意識中一切先驗的認識的形式。這形式，無論在什麼地方，都是根據律；在這裡、作為直觀的形式，也即是空間，則是存在的根據律。存在根據律的自明性、妥當性，和認識根據律的自明性、妥當性，亦即是和邏輯的真確性，是同樣大小，同樣直接的。所以我們不用，也不可為了單獨相信後者，就離開數學自有的領域而在二個和數學不相干的領域，概念的領域裡求取數學的證明。如果我們堅守數學自有的園地，我們便可獲得一個＇很＇大的優點，就是在數學中所知道的“有這麼回事”與其“何以如此”現在成為一件事了，而不再是歐幾里德把它完全割裂為兩事，只許知道前者，不許知道後者的辦法了。其實，亞里士多德在《後分析篇》第一篇第27節中說得非常中肯：“同時告訴我們‘有一事物’及其‘何以如此’的知識比分別講述事物之有及其所以然的知識要準確些，優越些。”在物理學中我們要得到滿足，只有事物之如此與其何以如此兩種知識統一起來，才有可能。單是知道託瑞切利管中的水銀柱高過二十八英寸，如果不同時知道其所以如此是由於空氣的壓力，那是一種不夠的知識。然則在數學園裡的隱秘屬性，譬如＇知道＇　圓形中兩兩交叉的弦的線段總是構成同樣的矩形，就能滿足我們嗎？這裡的“是如此”，歐幾里德固然已在第三卷第三十五條定理中證明了，但是“何以如此”仍然沒有交代。同樣，畢達戈拉斯定理也告訴了我們直角三角形的一種隱秘屬性。歐幾里德那矯揉造作，挖空心思的證明，一到“何以如此”就避不見面了，而下列簡單的，已經熟知的圖形，一眼看去，就比他那個證明強得多。這圖形讓我們有透入這事的理解，使我們從內心堅定地理解＇上述＇那種必然性，理解＇上述＇　那種屬住對於直角的依賴性：在勾股兩邊不相等的時候，要解決問題當然也可以從這種直觀的理解著手。根本可說任何可能的幾何學真理都應該這樣，單是因為每次發現這樣的真理都是從這種直觀的必然性出發的，而證明卻是事後想出來追加上去的，就應該這樣。所以人們只須分析一下在當初找出一條几何學真理時的思維過程，就能直觀地認識其必然性。我希望數學的講授根本就用分析的方法，而不採取歐幾里德使用的綜合方法。對於複雜的數學真理，分析方法誠然有很大的困難，然而並不是不可克服的困難。在德國已經一再有人發起改變數學講授的方式並主張多采取這種分析的途